Naukowcy z artykułu arXiv:2608.23765 ustalili ostre współczynniki zbieżności dla iteracyjnych metod najmniejszych kwadratów (IRLS) przy minimalizacji normy jądrowej w zagadnieniach rekonstrukcji macierzy niskiego rzędu. Problem dotyczył wcześniej niezrozumianych właściwości zbieżności tych algorytmów i roli operatora wag, które są kluczowe dla ich działania.
Kluczowym osiągnięciem pracy jest nowa analiza majoryzacji dla wygładzonej normy jądrowej, która pokazuje, że operator wag średniej harmonicznej definiuje globalny majorizer kwadratowy. To odkrycie jest istotne, ponieważ harmonic-mean weights okażą się optymalne w rodzinie wag potęgowych (power-mean weights) i działają lepiej niż klasyczne schematy ważenia jednostronnego, które wykorzystują tylko informacje z przestrzeni wierszy lub kolumn. Pod warunkiem właściwości zerowej przestrzeni Schatena-1 autorzy dowodzą globalnej liniowej zbieżności algorytmów IRLS z różnymi operatorami wag.
Pracownicy wykazali dodatkowo współczynnik zbieżności lokalnie liniowy niezależny od wymiaru dla IRLS z wagami średniej harmonicznej. Zaproponowali również kontrprzykład, który pokazuje, że ten wymiarowo-niezależny współczynnik nie może być osiągnięty dla algorytmów IRLS z operatorami jednostronnymi, które dominują w literaturze przedmiotu. Eksperymenty numeryczne potwierdzają wyniki teoretyczne i ilustrują praktyczne korzyści ważenia harmonic-mean na różnych typach problemów rekonstrukcji macierzy.