Transformata Hadamarda i transformata Fouriera są obydwie używane do szybkiego obliczania splotów w czasie O(N log N), ale mają różne właściwości. Hadamard działa na liczbach rzeczywistych ze zmianami znaku, co jest wydajniejsze computacyjnie, natomiast DFT gwarantuje dokładność matematyczną. Problem pojawia się, gdy chcemy zastąpić DFT Hadamardem - wprowadza to błąd algebraiczny, który dotychczas nie był dokładnie scharakteryzowany.
Nowe badanie ujawnia strukturę tego błędu. Okazuje się, że proces nie jest całkowicie losowy: identycznie dwa położenia wejścia i dwa wyjścia są zawsze wolne od błędu, niezależnie od danych. Macierz błędu ma prawie pełny rząd, co oznacza że błąd jest rozpowszechniony, ale jego przestrzeń zerowa ma tylko logarytmiczny wymiar. Kluczowe odkrycie to fakt, że błąd zależy głównie od jednego parametru - skalarnego wyrównania pomiędzy sygnałami, którego wartość można obliczyć w zamkniętej formie.
Praktyczne znaczenie: błąd asymptotycznie podwaja energię wyjścia, ale tylko dla filtrów poza specjalną podprzestrzenią bezpiecieczną, gdzie błędu w ogóle nie ma. Te wyniki mogą pozwolić na lepszą optymalizację algorytmów splotu w aplikacjach czasu rzeczywistego, gdzie szybkość Hadamarda jest krytyczna, ale konieczna jest kontrola błędu.